Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Вычислить первообразные функции мы можем не всегда, но задача на дифференцирование может быть решена для любой функции. Именно поэтому единого метода интегрирования, который можно использовать для любых типов вычислений, не существует.

В рамках данного материала мы разберем примеры решения задач, связанных с нахождением неопределенного интеграла, и посмотрим, для каких типов подынтегральных функций подойдет каждый метод.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Метод непосредственного интегрирования

Основной метод вычисления первообразной функции – это непосредственное интегрирование. Это действие основано на свойствах неопределенного интеграла, и для вычислений нам понадобится таблица первообразных. Прочие методы могут лишь помочь привести исходный интеграл к табличному виду.

Пример 1

Вычислите множество первообразных функции f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Решение

Для начала изменим вид функции на f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 .

Мы знаем, что интеграл суммы функций будет равен сумме этих интегралов, значит:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 · 5 x + 4 1 3 d x

Выводим за знак интеграла числовой коэффициент:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 · ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Чтобы найти первый интеграл, нам нужно будет обратиться к таблице первообразных. Берем из нее значение ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Чтобы найти второй интеграл, потребуется таблица первообразных для степенной функции ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , а также правило ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Следовательно, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

У нас получилось следующее:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 · ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 · 3 20 · (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

причем C = C 1 + 3 2 C 2

Ответ: ∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 · 5 x + 4 4 3 + C

Непосредственному интегрированию с применением таблиц первообразных мы посвятили отдельную статью. Рекомендуем вам ознакомиться с ней.

Метод подстановки

Такой метод интегрирования заключается в выражении подынтегральной функции через новую переменную, введенную специально для этой цели. В итоге мы должны получить табличный вид интеграла или просто менее сложный интеграл.

Этот метод очень полезен, когда нужно интегрировать функции с радикалами или тригонометрические функции.

Пример 2

Вычислите неопределенный интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Решение

Добавим еще одну переменную z = 2 x - 9 . Теперь нам нужно выразить x через z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 · z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Берем таблицу первообразных и узнаем, что 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Теперь нам нужно вернуться к переменной x и получить ответ:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Ответ: ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Если нам приходится интегрировать функции с иррациональностью вида x m (a + b x n) p , где значения m , n , p являются рациональными числами, то важно правильно составить выражение для введения новой переменной. Подробнее об этом читайте в статье, посвященной интегрированию иррациональных функций.

Как мы говорили выше, метод подстановки удобно использовать, когда требуется интегрировать тригонометрическую функцию. Например, с помощью универсальной подстановки можно привести выражение к дробно рациональному виду.

Это метод объясняет правило интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Добавляем еще одну переменную z = k · x + b . У нас получается следующее:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Теперь берем получившиеся выражения и добавляем их в интеграл, заданный в условии:

∫ f (k · x + b) d x = ∫ f (z) · d z k = 1 k · ∫ f (z) d z = = 1 k · F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Если же мы примем C 1 k = C и вернемся к исходной переменной x , то у нас получится:

F (z) k + C 1 k = 1 k · F k x + b + C

Метод подведения под знак дифференциала

Это метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в функцию вида f (g (x)) d (g (x)) . После этого мы выполняем подстановку, вводя новую переменную z = g (x) , находим для нее первообразную и возвращаемся к исходной переменной.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F (g (x)) + C

Чтобы быстрее решать задачи с использованием этого метода, держите под рукой таблицу производных в виде дифференциалов и таблицу первообразных, чтобы найти выражение, к которому надо будет приводится подынтегральное выражение.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных функции котангенса.

Пример 3

Вычислите неопределенный интеграл ∫ c t g x d x .

Решение

Преобразуем исходное выражение под интегралом с помощью основных тригонометрических формул.

c t g x d x = cos s d x sin x

Смотрим в таблицу производных и видим, что числитель можно подвести под знак дифференциала cos x · d x = d (sin x) , значит:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x , т.е. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Допустим, что sin x = z , в таком случае ∫ d sin x sin x = ∫ d z z . Согласно таблице первообразных, ∫ d z z = ln z + C . Теперь вернемся к исходной переменной ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Все решение в кратком виде можно записать так:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Ответ: ∫ с t g x d x = ln sin x + C

Метод подведения под знак дифференциала очень часто используется на практике, поэтому советуем вам прочесть отдельную статью, посвященную ему.

Метод интегрирования по частям

Этот метод основывается на преобразовании подынтегрального выражения в произведение вида f (x) d x = u (x) · v " x d x = u (x) · d (v (x)) , после чего применяется формула ∫ u (x) · d (v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x) . Это очень удобный и распространенный метод решения. Иногда частичное интегрирование в одной задаче приходится применять несколько раз до получения нужного результата.

Разберем задачу, в которой нужно вычислить множество первообразных арктангенса.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл ∫ a r c t g (2 x) d x .

Решение

Допустим, что u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x , в таком случае:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Когда мы вычисляем значение функции v (x) , прибавлять постоянную произвольную С не следует.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Получившийся интеграл вычисляем, используя метод подведения под знак дифференциала.

Поскольку ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , тогда 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Ответ: ∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию u (x) . В статье, посвященной методу интегрирования по частям, даны некоторые советы по этому вопросу, с которыми следует ознакомиться.

Если нам требуется найти множество первообразных дробно рациональной функции, то нужно сначала представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, а потом интегрировать получившиеся дроби. Подробнее см. статью об интегрировании простейших дробей.

Если мы интегрируем степенное выражение вида sin 7 x · d x или d x (x 2 + a 2) 8 , то нам будут полезны рекуррентные формулы, которые могут постепенно понижать степень. Они выводятся с помощью последовательного многократного интегрирования по частям. Советуем прочитать статью «Интегрирование с помощью рекуррентных формул.

Подведем итоги. Для решения задач очень важно знать метод непосредственного интегрирования. Другие методы (подведение под знак дифференциала, подстановка, интегрирование по частям) также позволяют упростить интеграл и привести его к табличному виду.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

4.1. ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 4.1.1. Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении рассматривалась задача нахождения производной или дифференциала по заданной функции y = F(x), т. е. необходимо было найти f (x) = F"(x) или dF(x) = F"(x) dx = f (x) dx. Поставим обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т. е., зная производную f(x) (или дифференциал f(x)dx), найти такую функцию F(x), чтобы F"(x) = f (x). Эта задача оказывается значительно более трудной, чем задача дифференцирования. Например, пусть известна скорость перемещения точки, а надо найти закон

ее перемещения S = S(t), причемДля решения подобных

задач вводятся новые понятия и действия.

Определение. Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f (x) на (a; b), если F"(x) = f (x) на (a; b).

Например, для f (x) = x 2 первообразная так как

для f (x) = cos x первообразной будет F(x) = sin x, потому что F"(x) = (sin x)" = cos x, что совпадает с f (x).

Всегда ли существует первообразная для заданной функции f (x)? Да, если эта функция непрерывна на (a; b). Кроме того, первообразных бесчисленное множество, и отличаются они друг от друга только постоянным слагаемым. Действительно, sin x + 2, sin x - 2, sin x + c - все эти функции будут первообразными для cos x (производная от постоянной величины равна 0) - рис. 4.1.

Определение. Выражение F(x) + C, где С - произвольная постоянная величина, определяющее множество первообразных для функции f (x), называется неопределенным интегралом и обозначается символом , т. е., где знак - знак неопределенного

интеграла, f (x) - называется подынтегральной функцией, f (x)dx - подынтегральньм выражением, х - переменной интегрирования.

Рис. 4.1. Пример семейства интегральных кривых

Определение. Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием этой функции.

Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, его можно проверить дифференцированием, причем дифференцирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной. Придавая постоянной величине С конкретные значенияпо-

лучим различные функции

каждая из которых задает на координатной плоскости кривую, называемую интегральной. Все графики интегральных кривых сдвинуты параллельно относительно друг друга вдоль оси Oy. Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.

Итак, введены новые понятия (первообразной и неопределенного интеграла) и новое действие (интегрирование), но как все-таки находить первообразную? Чтобы легко было ответить на этот вопрос, надо в первую очередь составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных элементарных функций. Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования. Например, если

Обычно в таблицу включаются некоторые интегралы, полученные после применения простейших методов интегрирования. Эти формулы помечены в табл. 4.1 символом «*» и доказаны при дальнейшем изложении материала.

Таблица 4.1. Таблица основных неопределенных интегралов

Формула 11 из табл. 4.1 может иметь вид
,

так как. Аналогичное замечание и по поводу фор-

мулы 13:

4.1.2. Свойства неопределенных интегралов

Рассмотрим простейшие свойства неопределенного интеграла, которые позволят интегрировать не только основные элементарные функции.

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

Пример 1. Пример 2.

4.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Пример 3.

5.Интеграл от суммы или разности двух функций равен сумме или разности интегралов от этих функций:

Пример 4.

Формула интегрирования остается справедливой, если переменная интегрирования является функцией: если то

Произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Это свойство называется инвариантностью.

Пример 5., поэтому

Сравнить с

Универсального способа интегрирования не существует. Далее будут приведены некоторые методы, позволяющие вычислить заданный интеграл с помощью свойств 1-5 и табл. 4.1.

4.1.3.Непосредственное интегрирование

Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств 4 и 5. Примеры.

4.1.4.Метод разложения

Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию функций с уже известными интегралами.

Примеры.

4.1.5. Метод подведения под знак дифференциала

Для приведения данного интеграла к табличному бывает удобно сделать преобразования дифференциала.

1. Подведение под знак дифференциала линейной функции

отсюда
в частности, dx = d(x + b),

дифференциал не меняется, если к переменной прибавить

или отнять постоянную величину. Если переменная увеличивается в несколько раз, то дифференциал умножается на обратную величину. Примеры с решениями.

Проверим формулы 9*, 12* и 14* из табл. 4.1, используя метод подведения под знак дифференциала:

что и требовалось доказать.

2. Подведение под знак дифференциала основных элементарных функций:

Замечание. Формулы 15* и 16* могут быть проверены дифференцированием (см. свойство 1). Например,

а это и есть подынтегральная функция из формулы 16*.

4.1.6. Метод выделения полного квадрата из квадратичного трехчлена

При интегрировании выражений типа или

выделением полного квадрата из квадратного трехчлена

ax 2 + bx + c удается свести их к табличным 12*, 14*, 15* или 16* (см. табл. 4.1).

Поскольку в общем виде эта операция выглядит сложнее, чем на самом деле, ограничимся примерами.

Примеры.

1.

Решение. Здесь мы выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена x 2 + 6x + 9 = (x 2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3) 2 - 4 , а затем используем метод подведения под знак дифференциала.

Рассуждая аналогично, можно вычислить следующие интегралы:

2. 3.

На заключительном этапе интегрирования была использована формула 16*.

4.1.7. Основные методы интегрирования

Таких методов два: метод замены переменной, или подстановка, и интегрирование по частям.

Метод замены переменной

Существуют две формулы замены переменной в неопределенном интеграле:

1) 2)

Здесьсуть монотонные дифференцируемые функ-

ции своих переменных.

Искусство применения метода состоит, в основном, в выборе функцийтак, чтобы новые интегралы являлись табличными или сводились к ним. В окончательном ответе следует вернуться к старой переменной.

Заметим, что подведение под знак дифференциала является частным случаем замены переменной.

Примеры.

Решение. Здесь следует ввести новую переменную t так, чтобы избавиться от квадратного корня. Положим x + 1 = t, тогда x = t 2 + 1, а dx = 2 tdt:

Решение. Заменив x - 2 на t, получим в знаменателе одночлен и после почленного деления интеграл сведется к табличному от степенной функции:

При переходе к переменной x использованы формулы:

Метод интегрирования по частям

Дифференциал произведения двух функций определяется формулой

Интегрируя это равенство (см. свойство 3), найдем:

ОтсюдаЭто и есть формула интегрирования по

частям.

Интегрирование по частям предполагает субъективное представление подынтегрального выражения в виде u . dV, и при этом интеграл должен быть проще, чемВ противном случае применение

метода не имеет смысла.

Итак, метод интегрирования по частям предполагает умение выделять из подынтегрального выражения сомножители u и dV с учетом вышеизложенных требований.

Приведем ряд типичных интегралов, которые могут быть найдены методом интегрирования по частям. 1. Интегралы вида

где P(x) - многочлен; k - постоянная. В этом случае u = P(x), а dV - все остальные сомножители.

Пример 1.

2.Интегралы типа

Здесь положим- другие сомножители.

Пример 2.

Пример 3.
Пример 4.

Любой результат можно проверить дифференцированием. Напр мер, в данном случае

Результат верен.

3.Интегралы вида

где a, b - const. За u следует взять e ax , sin bx или cos bx.

Пример 5.

Отсюда получаем Пример 6.

Отсюда

Пример 7.
Пример 8.

Решение. Здесь надо сперва сделать замену переменной, а потом интегрировать по частям:

Пример 9.
Пример 10.

Решение. Этот интеграл с равным успехом может быть найден как в результате замены переменной 1 + х 2 = t 2 , так и методом интегрирования по частям:

Самостоятельная работа

Выполнить непосредственное интегрирование (1-10).

Применить простейшие методы интегрирования (11-46).

Выполнить интегрирование, используя методы замены переменной и интегрирования по частям (47-74).

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .

Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .

Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

Тогда
.

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x) - это производная t по x , то
.

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x - это функция от t .
(2) ,
где t - это функция от x .

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2) . Положим t = x 2 + x . Тогда
;
;

.

Примеры интегрирования заменой переменной

1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x)′ = cos x . Тогда

.
Здесь мы применили подстановку t = sin x .

2) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что . Тогда

.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .

3) Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда

. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1 .

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b ,
где a и b - постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.

Примеры интегрирования линейными подстановками

A) Вычислить интеграл
.
Решение.
.

B) Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции .
.
ln 2 - это постоянная. Вычисляем интеграл.

.

C) Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.

.

D) Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.

.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .

.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.

E) Вычислить интеграл
.
Решение.
Применим формулу произведения синуса и косинуса .
;
.
Интегрируем и делаем подстановки.


.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Определение . Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или подынтегрального выражения) и применяя свойства неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам называется непосредственным интегрированием .

Часто при непосредственном интегрировании используются следующие преобразования дифференциала (операция «внесения под знак дифференциала»):

Например . 1) ;

При вычислении данных интегралов пользовались формулами 1 и 2 таблицы интегралов, которая приведена ниже.

Таблица основных неопределенных интегралов.

1. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Данный метод интегрирования основывается на следующей теореме:

Теорема. Пусть функцию f(x) можно представить в виде: f(x)=g(j(x))×j¢(х), тогда если G(u) является первообразной для g(u), то и G(j(x)) является первообразной для g(j(x)). То есть имеет место равенство: .

Например.

1. Метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение некоторого интеграла представляется в виде произведения двух сомножителей u и dv, затем используется формула интегрирования по частям.

Теорема Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы, тогда имеет место формула:

Так как u¢(x)dx=du, v¢(x)dx=dv, то формулу можно переписать в виде:

Например.

Формулу интегрирования по частям в процессе решения можно применять несколько раз.

Например

Например

перенесем из правой части равенства в левую:

Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

; ; , где Р(х)– многочлен от х, к – некоторое число	u=P(x), dv – остальные множители
; ; ; ;	dv=P(x)dх, u – все остальные множители
; , где а и b – некоторые числа	, dv – остальные множители

1. Интегрирование рациональных дробей.

ОпределениеРациональными будем называть дроби вида , где P n (x), Q m (x) многочлены соответственно n-ой и m-ой степени от х. К простейшим рациональным дробям отнесем дроби четырех типов:

Где А и а – некоторые действительные числа, – простейшая дробь первого типа;

– простейшая дробь второго типа;

– простейшая дробь третьего типа;

– простейшая дробь четвертого типа.

Рассмотрим интегрирование дробей первых трех типов.

3) Интегрирование простейшей дроби третьего типа проводится в два этапа. Разберем процесс интегрирования на примере.

(выделим в числителе производную знаменателя для последующего внесения под знак дифференциала: (х 2 +2х+3)¢=2х+2)

Определение Рациональные дроби называются правильными если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе и неправильными если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе.

В случае неправильной рациональной дроби возможно выделить целую часть. Для этого многочлен из числителя делят с остатком на многочлен знаменателя. Полученное частное будет целой частью, а остаток – числителем новой правильной рациональной дроби. Например, выделим целую часть: .

Таким образом, интегрирование рациональных дробей в обоих случаях сводится к интегрированию правильной рациональной дроби, которая не всегда является простейшей рациональной дробью одного из четырех типов.

Рассмотрим некоторый многочлен Q(x). Пусть число а является корнем этого многочлена, тогда Q(x)=(х-а)Q 1 (x), где Q 1 (x) – многочлен степени на 1 меньше степени Q(x). Число а может быть корнем кратности к, тогда Q(x)=(х-а) к Q 2 (x), где Q 2 (x) – многочлен степени на к меньше степени Q(x). Кроме того, многочлен Q(x) наряду с действительными корнями может иметь комплексный корень a+bi, тогда комплексное число a-bi также будет корнем Q(x). В этом случае Q(x)=(х 2 +px+q)Q 3 (x), где х 2 +px+q=(х-(a+bi))(х-(a-bi)). Если же указанные комплексные числа являются корнями кратности m, тогда Q(x)=(х 2 +px+q) m Q 4 (x).

Таким образом, всякий многочлен Q(x) можно представить в виде:

Q(x)=(х-а 1) к 1 (х-а 2) к 2 …(х-а n) k n (х 2 +p 1 x+q 1) m 1 (х 2 +p 2 x+q 2) m 2 …(х 2 +p s x+q s) m s .

Теорема. Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей 1-4 типов.

Например. Рассмотрим алгоритм представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших рациональных дробей 1-4 типов.

Так как знаменатели дробей равны, очевидно, должны быть равны и числители, а это равенство возможно при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях х. Таким образом, подставив вместо неопределенных коэффициентов A, B, C их значения получим: .

Например Найти интеграл .

Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. После деления числителя на знаменатель с остатком получим: .

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов:

Отсюда следует, что Решая полученную систему линейных уравнений, получаем Тогда , то есть = ;

Найдем отдельно

Таким образом, .

1. Интегрирование тригонометрических функций.

1. Пусть необходимо найти , где R – некоторая функция

При отыскании таких интегралов часто бывает полезно воспользоваться универсальной тригонометрической подстановкой: . С ее помощью всегда можно перейти от интеграла тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции:

Х=2arctgt, .

2. Если функция R(sinx, cosx) нечетна относительно sinx, то есть R(-sinx, cosx)=- R(sinx, cosx), то применяют подстановку cosx=t;

3. Если функция R(sinx, cosx) нечетна относительно соsx, то есть R(sinx, -cosx)=- R(sinx, cosx), то применяют подстановку sinx=t;

4. Если функция R(sinx, cosx) четна относительно sinx и соsx, то есть R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx), то применяют подстановку tgx=t; такая же подстановка применяется в случае .

Например.

Например Найти интеграл . Подынтегральная функция четна относительно sinx, тогда применяем подстановку tgx=t.

5. Для нахождения интегралов вида используют следующие приемы:

а) если n – нечетное целое положительное число, то используют подстановку sinx=t;

б) если m – нечетное целое положительное число, то используют подстановку соsx=t;

в) если m и n – целые неотрицательные четные числа, то используют формулы понижения порядка ; ; ;

г) если m+n – четное отрицательное целое число, то используют подстановку tgx=t.

Например. .

Например. . ; приводятся к интегралам от тригонометрических функций с помощью следующих подстановок:

а) для интеграла подстановка х=a×sint;

б) для интеграла подстановка х=a×tgt;

в) для интеграла подстановка .